量子信息的不可克隆性 (2)
Ping Zhou, 2022-01-07
接前文，继续聊量子信息的不可克隆性这个话题。在前文中，我们用最简单的CNOT门为例子，演示了为什么CNOT量子电路只能复制经典信息，而并不能复制处于一般态的量子位。今天把这个讨论扩展到一般的情况，来证明 复制量子态的机器不可能存在 。
基本思路是用反证法。假设我们有个能复制一个量子位的机器，那么这个机器构成的系统，至少包含这些部分：
- 被克隆的量子位， \(|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle\)
- 辅助量子位， \(|\phi\rangle\)
- 机器本身的状态 \(|A\rangle\) ，初始状态用 \(|A_i\rangle\) 表示
既然这个机器是量子电路构成的，这个“克隆”过程也必然是一个幺正变换。把这个幺正变换记作U，那么我们要达到的是这样的一个变换过程：
\begin{matrix} U |\psi\rangle |\phi\rangle |A_i\rangle \rightarrow |\psi\rangle |\psi\rangle |A_{f\psi}\rangle \end{matrix}也就是输入的 \(|\psi\rangle\) 被复制成了2个，而机器的状态由初始的 \(|A_i\rangle\) 变成了某个终态，这个终态必然是依赖于输入 \(|\psi\rangle\) ，所以记作 \(|A_{f\psi}\rangle\) 。
显然，如果输入是 \(|0\rangle\) 或 \(|1\rangle\) 的话，我们有：
\begin{matrix} U |0\rangle |\phi\rangle |A_i\rangle \rightarrow |0\rangle |0\rangle |A_{f0}\rangle \\ U |1\rangle |\phi\rangle |A_i\rangle \rightarrow |1\rangle |1\rangle |A_{f1}\rangle \\ \end{matrix}那么如果输入是一般的量子态呢？也就是
\(|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle\)
把它代入到前面的变换过程里：
\begin{matrix} U |\psi\rangle |\phi\rangle |A_i\rangle \\ = U (\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle) |\phi\rangle |A_i\rangle \\ \rightarrow \alpha U |0\rangle |\phi\rangle |A_{f0}\rangle + \beta U |1\rangle |\phi\rangle |A_{f1}\rangle \\ = \alpha |0\rangle |0\rangle |A_{f0}\rangle + \beta |1\rangle |1\rangle |A_{f1}\rangle \\ = \alpha |00\rangle |A_{f0}\rangle + \beta |11\rangle |A_{f1}\rangle \\ \end{matrix}但是，这是不是我们想要的“克隆”效果呢？显然不是啊！我们要的“克隆”变换，变换后的状态应该是这样的：
\begin{matrix} |\psi\rangle |\psi\rangle |A_{f\psi}\rangle \\ = (\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle) (\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle) |A_{f\psi}\rangle \\ = (\alpha^2 |00\rangle + \alpha\beta |10\rangle + \alpha\beta |01\rangle + \beta^2 |11\rangle) |A_{f\psi}\rangle \\ \end{matrix}和之前CNOT的例子类似，除非 \(\alpha\beta=0\) ，否则我们想要的目标状态，和U变换实际能给我们的，显然是不同的！
这个推导告诉我们，这个我们假设的克隆电路，只能复制经典信息（也就是输入是 \(|0\rangle\) 或 \(|1\rangle\) 的情况），并不能复制处于一般态的量子位。所以， 这样的克隆机器不可能存在 。
另外如果量子克隆机存在的话，还会违背相对论的一个基本原理，即信息不能超光速传播，这又从另一个侧面证明了量子不可克隆性。这又是另一个话题了，以后有空讨论。
感谢阅读！